Б. ПРОГРАМА З МАТЕМАТИКИ НА БАЗІ ПОВНОЇ ЗАГАЛЬНОЇ СЕРЕДНЬОЇ ОСВІТИ (11 класів) для вступу у 2020 році
Програма з математики складається з трьох розділів. Перший з них містить перелік основних математичних понять і фактів, якими повинен володіти вступник (вміти правильно їх використовувати при розв'язанні задач, посилатися на них при доведенні теореми).
У другому розділі вказано формули і теореми, які треба вміти доводити. У третьому розділі перелічено основні математичні вміння і навички, якими має володіти вступник.
На іспиті з математики вступник до вищого навчального закладу повинен показати вміння:
1) Будувати математичні моделі реальних об’єктів, процесів і явищ та досліджувати ці моделі засобами математики;
2) Виконувати математичні розрахунки;
3) Виконувати перетворення виразів;
4) Будувати і аналізувати графіки функціональних залежностей, досліджувати їхні властивості;
5) Розв’язувати рівняння, нерівності та їх системи;
6) Зображати геометричні фігури та тіла, встановлювати їхні властивості;
7) Знаходити кількісні характеристики геометричних фігур і тіл;
8) Аналізувати інформацію, яка подана в різних формах.
І. Основні математичні поняття і факти
Арифметика, алгебра і початки аналізу
- Натуральні числа і нуль. Читання і запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Додавання, віднімання, множення та ділення натуральних чисел.
- Подільність натуральних чисел. Дільники і кратні натурального числа. Парні і непарні числа. Ознаки подільності на 2, 5, 3, 9, 10. Ділення з остачею. Прості і складені числа. Розкладання натурального числа на прості множники. Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне.
- Звичайні дроби. Порівняння звичайних дробів. Правильний і неправильний дріб. Ціла та дробова частина числа. Основна властивість дробу. Скорочення дробу. Середнє арифметичне кількох чисел. Основні задачі на дроби.
- Степінь з натуральним і раціональним показником. Арифметичний корінь і його властивості.
- Логарифми та їх властивості. Основна логарифмічна тотожність.
- Одночлен і многочлен. Дії над ними. Формули скороченого множення.
- Многочлен з однією змінною. Корінь многочленна (на прикладі квадратного тричлена).
- Поняття функції. Способи задана функції. Область визначення, область значення функції. Функція, обернена до даної.
- Графік функції. Зростання і спадання функції; періодичність, парність, непарність функції.
- Достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку. Поняття екстремуму функції. Необхідна умова екстремуму. Найбільше і найменше значення функції на проміжку.
11. Означення і основні властивості функцій: лінійної у = kx + b, квадратичної у = ах2 +b х + с, степеневої у = хn, показникової у = аx , а > 0, логарифмічної у=1оgах, тригонометричних (у = sin х, у = cos х, у = tg x).
12. Рівняння. Розв'язування рівнянь, корені рівнянь. Рівносильні рівняння. Графік рівняння з двома змінними.
- Нерівності. Розв'язування нерівностей. Рівносильні нерівності.
- Системи рівнянь і системи нерівностей. Розв'язування систем. Корені системи. Рівносильні системи рівнянь.
- Арифметична та геометрична прогресії. Формула п-го члена і суми п перших членів прогресій.
- Синус і косинус суми і різниці двох аргументів (формули).
- Перетворення в добуток та sin ? ± sin ? та cos ? ± cos ?.
- Означення похідної, її фізичний та геометричний зміст.
- Похідні суми, добутку, частки, таблиця похідних
Геометрія
- Пряма, промінь, відрізок, ламана; довжина відрізка. Кут, величина кута. Вертикальні та суміжні кути. Паралельні прямі. Рівність та подібність геометричних фігур. Відношення площ подібних фігур.
- Приклади перетворення геометричних фігур, види симетрії.
- Вектори. Операції над векторами.
- Многокутник. Вершини, сторони, діагоналі многокутника.
- Трикутник. Медіана, бісектриса, висота трикутника, їх властивості. Види трикутників. Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.
- Чотирикутник: паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція; їх основні властивості.
- Коло і круг. Центр, діаметр, радіус, хорди, січні кола. Залежність між відрізками у колі. Дотична до кола. Дуга кола. Сектор, сегмент.
- Центральні і вписані кути; їх властивості.
- Формули площ геометричних фігур: трикутника, прямокутника, паралелограма, квадрата, ромба, трапеції.
- Довжина кола і довжина дуги кола. Радіанна міра кута. Площа круга і площа сектора.
- Площина. Паралельні площини і площини, що перетинаються.
- Паралельність прямої і площини.
- Кут прямої з площиною. Перпендикуляр до площини.
- Двогранні кути. Лінійний кут двогранного кута. Перпендикулярність двох площин.
- Многогранники. Вершини, ребра, грані, діагоналі многогранника. Пряма і похила призми. Піраміда. Правильна призма і правильна піраміда. Паралелепіпеди, їх види.
- Тіла обертання: циліндр, конус, сфера, куля. Центр, діаметр, радіус сфери і кулі. Площина, дотична до сфери.
- Формули площі поверхонь і об'ємів призми, піраміди, циліндра, конуса.
- Формули площі поверхні сфери, об'єму кулі.
II. Основні формули і теореми
Алгебра і початки аналізу
- Функція у = аx + b, її властивості і графік.
- Функція у = k/x, її властивості і графік.
- Функція у = ах2 +b х + с, її властивості і графік.
- Формула коренів квадратного рівняння.
- Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.
- Властивості числових нерівностей.
- Логарифм добутку, степеня і частки.
- Функції у = sin х, у = cos х, у = tg х, їх означення, властивості і графіки.
- Розв'язки рівнянь sin х = а, cos х =а, tg х = а
- Формули зведення.
- Залежність між тригонометричними функціями одного й того ж аргументу.
- Тригонометричні функції подвійного аргументу.
- Похідна суми, добутку і частки двох функцій, степеневої функції.
- Похідні тригонометричних функцій, показникової і логарифмічної функцій.
- Рівняння дотичної до графіка функції.
Геометрія
- Властивості рівнобедреного трикутника.
- Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.
- Ознаки паралельності прямих.
- Сума кутів трикутника. Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника.
- Ознаки паралелограма.
- Коло, описане навколо трикутника.
- Коло, вписане в трикутник.
- Дотична до кола та її властивість.
- Вимірювання кута, вписаного в коло.
- Ознаки рівності, подібності трикутників.
- Теорема Піфагора, наслідки з теореми Піфагора.
- Формули площ паралелограма, трикутника, трапеції.
- Формула відстані між двома точками площини. Рівняння кола.
- Ознаки паралельності прямої і площини.
- Ознаки паралельності площин.
- Теорема про перпендикулярність прямої і площини.
- Перпендикулярність двох площин.
- Паралельність прямих і площин.
- Перпендикулярність прямих і площин.
III. Основні вміння і навички
Вступник повинен уміти:
1. Виконувати арифметичні дії над натуральними числами, десятковими і звичайними дробами; користуватися калькулятором і таблицями.
- Виконувати тотожні перетворення многочленнів, алгебраїчних дробів, виразів, що містять степеневі, показникові, логарифмічні і тригонометричні функції.
- Будувати і читати графіки лінійної, квадратичної, степеневої, показникової, логарифмічної та тригонометричних функцій.
- Розв'язувати рівняння і нерівності першого і другого степеня, а також рівняння і нерівності, що зводяться до них; розв’язувати системи рівнянь та нерівності першого і другого степеня і ті, що зводяться до них; найпростіші рівняння і нерівності, що мають степеневі, показникові, логарифмічні і тригонометричні функції.
- Розв'язувати задачі за допомогою рівнянь і систем рівнянь.
- Зображати геометричні фігури на площині і виконувати найпростіші побудові на площині.
- Використовувати відомості з геометрії при розв'язуванні алгебраїчних, а з алгебри і тригонометрії - геометричних задач.
- Виконувати на площині операції над векторами (додавання і віднімання) векторів, множення вектора на число) і використовувати їх при розв'язуванні практичних задач і вправ.
- Застосовувати похідну при дослідженні функцій на зростання (спадання), на екстремуми, а також для побудови графіків функцій.